Factorización por regla de Ruffini.
Si un polinomio es entero y racional, se puede escribir su factorización mediante el uso de la regla de Ruffini o división sintética, la cual puede ver en detalle en el apartado de división sintética. esta regla consiste en una división en forma corta de polinomios, bajos ciertas condiciones, a continuación, se presenta un breve resumen de ellas, para un análisis más detallado y una mejor compresión haga clic división sintética,
Uso de la división para factorizar.
Una conclusión importante al analizar el residuo de un polinomio se obtiene si para un valor \(c\) cualquiera \(r\left(c\right)=0\), entonces se dice que \(c\) es una raíz o cero del polinomio y de esto se deduce un importante teorema llamado teorema del factor el cual, aunque se enuncia en esta sección se estudia a profundidad en su propio apartado.
Teorema del factor.
Si \(c\) es una raíz de \(P\left(x\right)\) entonces \(x-c\) es un factor de \(P\left(x\right)\).
Este teorema permite escribir un polinomio, $$P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+ax+a_0$$ entero racional de manera factorizada, solo con observar si el residuo \(r\left(c\right)=0\).
Donde los posibles ceros de \(P\left(x\right)\) son de la forma factores de \(a_0/a_n\) (algún factor del término independiente entre algún factor del coeficiente principal).
Este método de factorización es muy útil porque permite fatorizar polinomios sin la necesidad de recordar fórmulas que en algunos casos resultan un tanto tediosa. Para ver como esto es posible y luego clic en la pestaña ejercicios para ver los ejemplos resueltos.
Ejemplo. Dividir \(x^4-4x^2+8x-2\) entre \(x-2\)
Comience por escribir \(P\left(x\right)=1x^4+0x^3-4x^2+8x-2\) para que esté ordenado y completo, \(Q\left(x\right)=mx+b=1x-2\) de donde \(m=1\).
Coloque en una tabla los coeficientes de \(P\left(x\right)\) y realice las operaciones como se indicó en los pasos anteriores, de done se tiene:
Como \(m=1\) se tiene que \(c\left(x\right)=1x^3+2x^2+0x+8\ \ \Longrightarrow \ C\left(x\right)=x^3+2x^2+8\). Recuerde que \(C\left(x\right)\) es un grado menor que \(P\left(x\right)\), por tanto, como \(P\left(x\right)\) es de grado cuatro \(C\left(x\right)\) es de grado tres. Por el teorema del residuo como \(r\left(x\right)=14\) entonces \(x-2\) no es factor de \(P\left(x\right)\).
Ejemplo factorizar el polinomio \(P(x)=2x^3-x^2-43x+60\)
Los posibles ceros del polinomio son factores de \(a_0\) sobre factores de \(a_n\) esto es:
Posibles ceros: \(\pm1,\ \pm1/2,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm3/2,\ \pm4,\ \pm5,\ \pm5/2,\ \pm6,\ \pm60,\ \pm30,\) \(\pm20,\ \pm10,\ \pm15,\ \pm15/2\) como de costumbre se inicia probando los valores más pequeños.
\(P\left(x\right)=2x^3-x^2-43x+60\) está ordenado y completo, así que se puede empezar a comprobar con los posibles ceros. \(c=1\) no es un cero (raíz) porque la suma de los coeficientes \(2-1-43+60\neq0\). Para \(c=-1\) se aplica la regla de Ruffini.
\(r\left(-1\right)=20\) entonces \(c=-1\) no es factor, se puede comprobar que \(\pm1/2,\ \ \pm2,\ \ \pm3\) tampoco funcionan. Para \(c=3/2\) se tiene:
Como \(r\left(3/2\right)=0\) por el teorema del factor \(\left(x-3/2\right)\) por tanto \(P(x)=\left(x-3/2\right)(2x^2+2x-40)\)
Ahora puede seguir usando división sintética o factorizar \((2x^2+2x-40)\) como \(ax^2+bx+c\).
\(\Longrightarrow P(x)=\left(x-3/2\right)2(x^2+x-20)=(2x-3)(x+5)(x-4)\)
Ejemplo. Factorizar \(P\left(x\right)=x^3-64\)
\(x^3-64\) es una diferencia de cubos que se factoriza como \(x^3-64=\left(x-4\right)\left(x^2+4x+16\right)\), pero imagine que no recuerda la regla de diferencia de cuadrados y usa la división sintética para la solución.
\(x^3-64=x^3+0x^2+0x-64\) y los posibles ceros son factores de \(64\).
Como \(r\left(4\right)=0\) entonces \(\left(x-4\right)\) es un factor \(\Longrightarrow P(x)=(x-4)(x^2+4x+16)\) el cual es el resultado ya conocido. Si intenta seguir factorizado el trinomio \(x^2+4x+16=(x+h)(x+k)\) se dará cuenta que, no existen dos números \(h\) y \(k\) los cuales multipicados den \(16\) y sumados den \(4\) y por tanto \(x^3-64=(x-4)(x^2+4x+16)\).